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Les boules! par Michel GAYDIER

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EnigMyster   Le 05/07/02 à 13:44 Re:Les boules! Citer

Afin d’occuper sainement vos neurones, je fais remonter ce sujet en provenance de la défunte rubrique CQFD, récemment fusionnée avec la Taverne.

Michel GAYDIER   Le 13/02/02 à 22:13 Re:Les boules : suite et fin Citer

Je te félicite doublement : d'un coté d'avoir progressé par toi même, ensuite de m'éviter de taper la réponse que j'avais cogitée.
D'un autre coté je suis un peu frustré que le débat s'arrête. Il va falloir touver autre chose...

MTS dream team   Le 13/02/02 à 17:22 Les boules : suite et fin Citer

Le but de la petite histoire avec la femme enceinte était de pouvoir discuter du point sur lequel nous ne sommes pas d'accord dans le but d'avancer. Dans cette histoire, la probabilité est incontestablement nulle pour la mère. Ma conclusion était: "la probabilité dont on parle est indépendante des observateurs. Elle ne peut pas valoir 0 pour l'un d'entre eux et ½ pour un autre. Elle vaut donc nécessairement 0."
C'est là qu'est mon erreur: une même probabilité (ie la probabilité que l'enfant qui va naître soit un garçon) dépend des personnes auxquelles on pose la question. Elle vaut bien 1/2 pour un observateur qui ne connait pas le résultat de l'échographie et 0 pour la mère.
Conclusion: Michel avait raison :(, je n'avais pas conscience qu'une probabilité est une valeur subjective. Je le sais maintenant.
Merci Michel d'avoir cherché à progresser dans le débat (c'est la seule raison qui m'a poussé à continuer la discussion). Je suis tout de même content d'avoir trouvé tout seul mon erreur [:)]

Eric/équipe MTS

MTS dream team   Le 13/02/02 à 10:05 Re:Re:Re:Re:Re:Re:Re:Re:Les boules! Citer

J'ai justement montré précédemment que P1 ne vaut pas ½ pour le 1er tirage mais plutôt 0 ou 1. C'est là que nos avis divergent. Si on veut avancer, mieux vaut donc parler de cela. J'ai justement une petite histoire qui devrait illustrer le débat de façon concrète. Toute ressemblance avec des personnes existantes serait une pure coïncidence...
Une femme va accoucher d'un enfant (tiens, cela rappelle quelque chose...). Michel et MTS rendent visitent à la future mamam. Michel, qui aime beaucoup les probabilités, annonce pour taquiner MTS :
"La probabilité que l'enfant qui va sortir soit un garçon est de ½"
MTS: "Bien sûr que non, vous vous trompez ! C'est comme pour les énigmes des boules et des garçons, la probabilité que l'enfant qui va sortir soit un garçon est 0 ou 1 mais pas ½ puisque le sexe de l'enfant est déjà déterminé. Par contre, je veux bien parier 1 euro qu'il s'agira d'un garçon, car j'ai une chance sur 2 de deviner le sexe."
La future maman: "Vous m'amusez beaucoup tous les trois, j'ai fait une échographie. Il s'agit d'une fille. Il est donc impossible que j'accouche d'un garçon. La probabilité dont vous parlez est donc nulle"
La probabilité dont on parle est indépendante des observateurs. Elle ne peut pas valoir 0 pour l'un d'entre eux et ½ pour un autre. Elle vaut donc nécessairement 0.

L'histoire montra donc que Michel avait tort.

Michel GAYDIER   Le 12/02/02 à 22:25 Re:Re:Re:Re:Re:Re:Re:Les boules! Citer

Il semblerait que l'on soit d'accord sur P2. En ce qui concerne P1, elle n'a de sens que lors du premier tirage (et à ce moment là P1=P2). Dès le deuxième tirage, ce que l'on a tiré modifie la connaissance que l'on a du contenu.
Je pense que ton P1 n'a pas de sens, dans la mesure où il veut isoler dans le protocole le 4ème tirage, alors qu'il sagit ici d'un méta-tirage qui englobe tout le protocole : remplissage du sac 3 tirage B.
Posons la question de confiance : dans la position de l'énigme, parierais tu à 18 contre 25?

MTS dream team   Le 12/02/02 à 14:45 Re:Re:Re:Re:Re:Les boules! Citer

Michel,
Tu as dit : "Imaginons que l'on mette une seule boule dans le sac, et qu'ensuite on fasse un tirage unique. La probabilité de sortir B est de 1/2 (jespère que nous serons d'accord sur ce point). Si je transpose ta dernière phrase, elle ne peut être calculée car égale à 1 ou 0 suivant le contenu du sac ??!!"
Nous ne sommes en effet pas d'accord! Cela dit, cet exemple simple nous permettra probablement (humour) de se comprendre. D'après moi, tu confonds la probabilité P1 que le tirage sorte une boule blanche et la probabilité P2 pour un observateur de deviner la couleur de la boule qui va sortir. P2 vaut bien sûr 1/2 puisque l'observateur n'a aucune idée de la boule qui a été mise dans le sac. Quant à P1, elle vaut 0 ou 1 suivant la boule qui est dans le sac.
D'ailleurs, il suffit de réaliser l'expérience et de procéder à 1000 tirages consécutifs avec remise sans modifier le contenu du sac. On va sortir une boule blanche 1000 fois ou 0 fois, ce qui montre que P1 ne vaut pas 1/2 mais plutôt 0 ou 1.

BeNiKro   Le 11/02/02 à 23:23 Re:Re:Re:Re:Re:Les boules! Citer

Bon, a vrai dire, j'etais pas d'accord avec toi au début ...

Plus ca discute ... et ca discute, et plus j'me dis que finalement, c'est peut etre plus juste que je ne l'aurais cru ...

En fait, posons nous le problème suivant :
On constitue le sac de boules comme indiqué dans l'enoncé ... on fait trois tirage succéssifs avec remise qui nous donnent des boules blanches : Quelles sont alors les probabilités de constitution du sac ??

Pour obtenir le résultat, on est obligé de tenir compte du fait que l'on ait eu trois blanches de suite, donnant ainsi de plus grandes probalités a un sac constitué de 3 ou 4 blanches plutot que d'une seule ou de deux ...

Pour la suite, c'est avec ces probabilités que l'on peut calculer les proba du tirage suivant ...

Si l'on tire une grande quantité de boules blanches, la probabilité que le sac soit initialement constitué de 5 blanches augmente considerablement ... donc la probabilté de tirer a nouveau une blanche augmente de meme ...

P'tit Ben

Michel GAYDIER   Le 11/02/02 à 18:47 Re:Re:Re:Re:Les boules! Citer

Que représente la probabilité ? La proportion de "chances" pour qu'un événement survienne si on répète une expérience un grand nombre (une infinité) de fois.
Je prétends que si :
1> on remplit le sac comme énoncé,
2> on tire 3 boules
3> on élimine les cas où une boule N est sortie
4> on tire la 4ème boule
La proportion de tirages B à la 4ème boule sera de 18/25

Imaginons que l'on mette une seule boule dans le sac, et qu'ensuite on fasse un tirage unique. La probabilité de sortir B est de 1/2 (jespère que nous serons d'accord sur ce point). Si je transpose ta dernière phrase, elle ne peut être calculée car égale à 1 ou 0 suivant le contenu du sac ??!!

MTS dream team   Le 11/02/02 à 18:05 Re:Re:Re:Les boules! Citer

"(...)le fait de tirer une longue séquence de B amène à penser que le sac contient beaucoup de B"
C'est vrai mais cela ne changera jamais le contenu du sac.
Or la probabilité de tirer une boule blanche ne dépend que du contenu du sac qui est déjà fixé. Peu importe donc de l'idée que quiconque se fera du contenu du sac. S'il devine le contenu exact, il aura la bonne probabilité.
Cette probabilité ne peut donc pas être calculée avec ces données là. La probabilité de tirer une 4eme blanche est 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 ou 1 suivant le contenu du sac.

Michel GAYDIER   Le 11/02/02 à 16:35 Re:Re:Les boules! Citer

La réponse est sensiblement la même que pour le précédent : le fait de tirer une longue séquence de B amène à penser que le sac contient beaucoup de B.
Si je tire 100B de suite, il y a :
1 chance sur 32 que je sois dans le cas BBBBB
5/32 * (4/5)^100 que je sois dans le cas NBBBB, soit sensiblement aucune chance, et encore pire pour les autres cas.

Michel GAYDIER   Le 11/02/02 à 16:31 Re:Re:Solution Citer

Sauf qu'ici le dé est peut être pipé.
Le contenu du sac est inconnu : le dé a été choisi parmis une collection des dés qui ont de 0 à 6 faces "6".
Le fait de tirer une grande séquence de 6 tend à faire penser qu'on à choisi un dé qui a de nombreuses faces 6, et donc la proba de sortir un 6 augmente...

BeNiKro   Le 11/02/02 à 13:05 Re:Solution Citer

Il s'agit ici, dans le deuxième tirage, d'un tirage avec remise, les probabilités de tirages sont donc les memes quelques soient le nombre de tirages, ils sont indépendants. Le seul truc que nous indiquent ces 3 précédents tirages est qu'il y a au moins une blanche, ce qui élimine le cas de 5 noires dans le sac.

La probabilité de faire 6 avec un dé au sixième lancé sachant que l'on a obtenu 5 fois le 5 est toujours de 1/6 ...

P'tit Ben

NiKro   Le 11/02/02 à 10:33 Re:Les boules! Citer

Dans le sac, les configurations possibles sont :
BBBBB avec une probabilité de 1/2^5
BBBBN avec une probabilité de 1/2^5 * 5
BBBNN avec une probabilité de 1/2^5 * 10
BBNNN avec une probabilité de 1/2^5 * 10
BNNNN avec une probabilité de 1/2^5 * 5
NNNNN avec une probabilité de 1/2^5 , OK.

La probabilité de tirer une boule blanche dans un sac est:
BBBBB 1
BBBBN 4/5
BBBNN 3/5
BBNNN 2/5
BNNNN 1/5
NNNNN 0

La probabilité de tirer une boule blanche globale est donc de 1/2. Mauvaise réponse: on a déjà tiré 3 boules blanches, il faut donc tenir compte du fait qu'il y a au moins une boule blanche dans le sac (probabilité 31/32). D'où la probabilité de tirer une boule blanche = 16/31.

Y a-t-il une erreur dans ce raisonnement? Si oui laquelle?

Dans la réponse de Michel, je ne comprends pas comment le fait de tirer plusieurs fois une boule blanche influe sur la probabilité d'en tirer une au coup suivant! Cela influe sur la probabilité de "tirer une SERIE de x boules blanches" non? Dans un jeu de pile ou face, la probabilité de tirer pile est toujours 1/2 même si on a tiré trois fois pile les coups précedents!!!

NiKro, qu'a suivi son intuition...[:)]

Michel GAYDIER   Le 11/02/02 à 00:26 Solution Citer

Cette énigme est un problème de probabilités conditionnelles : on cherche la probabilité notée p(a/b) que survienne un événement a sachant qu’un événement b est survenu.
La théorie nous dit que, pourvu que a et b soient indépendants, p(a/b) = p(a et b)/p(b).

Dans le sac, les configurations possibles sont :
BBBBB avec une probabilité de 1/2^5
BBBBN avec une probabilité de 1/2^5 * 5
BBBNN avec une probabilité de 1/2^5 * 10
BBNNN avec une probabilité de 1/2^5 * 10
BNNNN avec une probabilité de 1/2^5 * 5
NNNNN avec une probabilité de 1/2^5

Calculons p(b) (trois tirages B)
si BBBBB : 1
si BBBBN : (4/5)^3
si BBBNN : (3/5)^3
etc…
donc
p(b) = 1/2^5 * (1*1 5*(4/5)^3 10*(3/5)^3 10*(2/5)^3 5*(1/5)^3 * 1*0)
p(b) = 1/2^5*1/5^2*(25 64 54 16 1) = 1/5

De même pour p(a et b) (quatre tirages B)
p(a et b) = 1/2^5 * (1*1 5*(4/5)^4 10*(3/5)^4 10*(2/5)^4 5*(1/5)^4 * 1*0)
p(a et b) = 1/2^5*1/5^3*(125 256 162 32 1) = 18/125

Donc p(a/b) = 18/125*5 = 18/25 soit environ 72 chances sur 100.

Voilà. J’ai volontairement livré la solution mathématique froide et brute, en gardant les arguments plus « intuitifs » pour répondre aux questions et objections qui, paraît-il, sont nombreuses… [:)]

Michel GAYDIER   Le 10/02/02 à 21:59 Les boules! Citer

[Cette énigme fut postée dans le "Forum" le 30-01-02.]

Je dispose de boules blanches et de boules noires. A l'aide d'une pièce, je tire à pile ou face : face je choisis une noire, pile une blanche, et je place ainsi 5 boules dans un sac.
Je tire une boule du sac : elle est blanche. Je la remets dans le sac, je mélange, et je refais un tirage : à nouveau une blanche. Je la remets dans le sac, je mélange à nouveau, et je procède à un troisième tirage : encore une blanche ! Je la remets dans le sac, je mélange, et je procède à un quatrième tirage.
Quelle est la probabilité d'obtenir à nouveau une blanche?
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