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N° 84 - Machine à fabriquer des nombres [DECL] par Kheops

Monsieur McCulloch nous fait part de sa nouvelle invention, une machine à fabriquer des nombres. Il s'est amusé, dit-il, en la construisant mais ne lui a pas trouvé encore une seule explication. Que fait-elle lui demande un ami ?

- Eh ! Bien, tu introduis un nombre dans la machine, tu attends un moment, et il en ressort un autre nombre.
- Un autre nombre ?
- Tout dépend de ce que tu as mis au départ, il est souvent différent mais il arrive que ce soit le même. Cependant la machine n'accepte pas qu'on introduise n'importe quel nombre. Ceux qu'elle accepte sont les nombres acceptables.
- Peux-tu déterminer à l'avance quel nombre va ressortir de la machine une fois que tu as décidé celui que tu vas introduire ?
- Non, car il ne suffit pas de décider, encore faut-il véritablement l'introduire.
- Bien sûr ! je veux seulement savoir si, une fois qu'un nombre a été introduit, celui qui va en ressortir est parfaitement déterminé.
- Certainement, la machine ne fonctionne pas au hasard. Elle obéit à trois règles précises. D'abord les nombres dont il s'agit sont des nombres entiers positifs - ma machine ignore complètement les nombres négatifs ou les fractions. Un nombre N s'écrit comme une succession de chiffres pris parmi 0,1,2,3,4,5,6,7,8, et 9. Cependant, pour des raisons techniques, la machine ne connait que les nombres ne comportant pas le chiffre 0 (ex: 5492 mais pas 502). Si N et M sont deux nombres entiers, je note NM non pas le produit de N par M comme c'est l'usage, mais le nombre obtenu en écrivant dans l'ordre les chiffres de N, puis à la suite ceux de M (ex: N=53 M=728 NM=53728). A présent je vais t'expliquer comment la machine opère. Pour cela, je dirais qu'un nombre X donne un nombre Y si X est acceptable et Y ressort de la machine quand on introduit X. La machine obéit alors à 2 règles.
REGLE 1 : Pour tout nombre X le nombre noté 2X, formé du chiffre 2 suivi des chiffres de X, est acceptable, et il donne X. Par exemple 253 donne 53 et 27482 donne 7482. Pour simplifier quand j'introduis 2X dans la machine, celle-ci se contente d'effacer le 2 du début, et il ressort X. Avant de passer à la règle 2 tu dois savoir que les nombres de la forme X2X jouent un rôle important - d'ailleurs j'appelerai X2X l'associé de X. Par exemple, l'associé de 7 est 727, celui de 549 est 5492549.
REGLE 2 : Si X est un nombre acceptable qui donne Y, alors 3X est acceptable et il donne l'associé de Y (ex : 27 donne 7 selon la première règle, donc 327 donne l'associé de 7 qui est 727. De même façon, 2586 donne 586, et 32586 donne l'associé de 586 qui est 5862586). Si j'entre 3327 : nous savons que 327 donne 727 ; donc d'après la règle 2 le nombre 3327 donne l'associé de 727 qui est 7272727. Il faut savoir que tous les nombres acceptables doivent commencer par 2 ou 3 et même parmi cela tous ne sont pas acceptables. Par exemple 2 tout seul n'est pas acceptable car la machine ne sait pas lui appliquer les règles, mais c'est le seul nombre commençant par 2 à ne pas l'être. Un nombre qui ne contient que des 3 n'est pas acceptable, pas plus que 32 ou 332 et plus généralement une succession de 3 suivie du chiffre 2. Par contre quel que soit X, les nombres 2X, 32X, 332X, 3332X, et ainsi de suite le sont. Les seuls nombres acceptables sont de la forme 2X, 32X, 332X, 3332X, et plus généralement une succession de 3 suivie de 2X avec X quelconque. Ainsi le nombre 2X donne X, 32X donne l'associé de X, 332X donne l'associé de l'associé de X, que j’appellerai le deuxième associé de X. Ensuite 3332X donne l'associé de l'associé de l'associé de X, soit le troisième associé de X, et ainsi de suite.
A présent, demande McCuloch, peux-tu me donner un nombre N qui donne 7N, c'est a dire un 7 suivi de N ?